회로 이론(7) - 예제로 테브냉(Thevenin) 등가회로 끝장내기1

안녕하세요, 넌준일기 Electronic & Computer Engineering - 회로 이론의 7번째 시간입니다. 

 

'어떻게 하면 회로 이론을 빠르게 이해하고 실전에 사용할 수 있을까' 에 대한 고민에서 출발한 포스팅입니다. 

 

이번 포스팅은 말 그대로, 예제들을 살펴보면서, 문제들을 해결하는 시간을 가져볼 텐데요, 주로 테브냉과 노턴 등가를 활용하는 문제들이 등장하기 때문에 혹시 개념이 흔들린다거나, 개념은 알지만 실전 풀이 방법이 어색하신 분들은 아래의 포스팅을 먼저 보고 오시면 도움 되실 겁니다🤗

 

Q1. 이상적인 전압원과 전류원을 갖는 회로이다. 다음 회로에서 Vx 를 구하시오.

문제1. 회로도

1. Vx = 3(V), when V1 = 6(V), I1 = 3m(A)

2. Vx = 4(V), when V1 = 6(V), I1 = 6m(A)

3. Vx = 4(V), when V1 = 12(V), I1 = 3m(A)

4. Vx = 5(V), when V1 = 12(V), I1 = 6m(A)

 

다음과 같을 때, V1 = 36(V), I1 = 9m(A) 일 때 Vx의 값을 구하라.

 

우선, 이 문제를 해결하기 전에, 다음 회로에서는 총 3개의 독립 전원이 존재합니다. 

이 세 개의 독립 전원이 Vx 라는 전압에 linear 하게 영향을 주고 있기 때문에, 

소스에 대한 각각의 가중치를 통해서 특정 노드의 전압을 나타내는, Linear Superposition (중첩의 원리) 를 활용할 수 있습니다.

 

1) V1 에 대한 Vx 가중치를, Vx1 이라고 놓고

2) I1 에 대한 Vx 가중치를 , Vx2 로,

3) 6V 에 대한 Vx 가중치를, Vx3 으로 두겠습니다.

 

1)

 

우측이 1)에 대한 풀이인데요, 

하나의 독립 전원에 의한 Vx 기여도를 계산하기 때문에,

다른 전류원은 OPEN,

다른 전압원은 Short, 를 시켜주시고 회로를 그려줘요.

 

 

 

 

 

전체 식을 보시면, Vx 가 Vx#에 대한 Linear Summation으로 나타난다는 것을 알 수 있겠죠~? :)

Vx 와 V1 사이의 관계식을 표시할 것인데, 그 상수는 결국, 8개의 저항에 대한 식으로 나타날 것입니다.

이제는, 직병렬 저항의 해석과 Voltage Divider 에 대한 특징을 바탕으로 등가회로를 그려볼게요.  

등가회로인데요, Vx 기준 우측의 회로에 달려 있는 저항을 Rt 라는 등가저항으로 표현하면, 왼쪽 식과 같이 표현할 수 있을 거에요. 실제 식을 전부 전개하기보다는 다음과 같이, 정량적 해석을 진행하시는 것이 실수를 줄일 수 있는 지름길입니다^^

 

그리고 Vx 기준 우측의 등가회로와 Vx 기준 좌측의 기존의 회로를 통해 Voltage Divider 특성을 활용하여, Vx1을 V1 에 대해서 다음과 같이, 상수(가중치)의 곱으로 표현할 수 있다는 것이죠.

 

 

2)

다음은, I1 만 살리고, 나머지 전원을 전부 Short시키시면 되겠죠? 나머지 전원의 종류가 전부 전압원이기에,

전압원 전압 크기를 0으로 한다는 것은

전압원 양단 전압 차를 0으로 하겠다는 뜻이고,

이는 곧 그냥 전압 차가 존재하지 않는

Ideal 한 전선과도 같기 때문이죠😊

 

 

 

우선, V=IR 에 따라서, Vx 에 의해 해당 노드에서 퍼져 나가는 전류를 표현하는 방식으로, 식을 왼쪽 그림과 같이 정리할 수 있습니다.

당연히, Vx 와 GND 노드와의 등가 저항을 만들어주는 Sense 는 챙겨가시면 회로 이론 해석에 있어 도움이 꽤 되실 거에요!

그리고 저 B라는 친구를 전류원에 대한 Vx 의 가중치로써 해석할 수 있겠죠?

나중에 말씀드리겠지만, 저런 가중치는 전부 회로 상의 Elements 성분들로 표현이 될 거에요. (여기서는 저항!)

 

 

3)

 

이제는 마지막, 6V 가 Vx 에 주는 영향을 Linear 하게 쪼개서 살펴볼텐데요,

 

1번 풀이와 상당히 유사한 점이 있기에

Voltage Divider 와 직병렬 등가 저항을 만드는 방법을 통해 Rt를 구체화할 수 있습니다.

 

Rt를 지금 계산하시지 말고, 나중에 계산한다고 생각하시면 될 것 같아요.

 

 

 

그래서 좌측의 그림과 같이, 

Vx 기준 좌측의 회로도 상의 저항과,

Vx 기준 우측의 등가 저항을 통해 Voltage Divide 가 어떻게 이루어졌는지를 고찰하면 다음과 같이, 6V 에 대한 가중치가 C라는 상수로써 나타나는 것을 확인할 수 있었습니다.

 

 

 

우와,, 이제 A, B, C 는 사실 정량적 해석에는 필수적이라고 볼 수 있는데요, 만약 문제에서 모든 저항의 값을 주고, 위와 같이 여러 개의 Case 에 대한 결과를 주지 않았다면 위의 해석이 필수적이었을 겁니다.

 

그렇지만, 이미 우리에게 식을 4개를 주었고, 우리는 A,B, C 3개의 변수를 모르기 때문에, 4개 중에서 마음에 드는(계산이 쉬운) 3개의 식을 연립하여 각 가중치를 구해주면 되겠죠?

 

하지만, 여기서 궁금증이 생깁니다.

각 경우에 대해서, A, B, C (가중치) 가 전부 다 같나요? 라는 질문이죠,,

우선, 결론은 같습니다.

다음과 같은 linear superposition에 의한 가중치는 회로 구성 소자가 바뀌지 않는 한 일정합니다.

즉, 만약 저렇게 식을 여러 개 주고, 하나의 Case 에 대한 결과를 물어봤다면, 우리는 위의 과정과 같이 정량적으로 각 가중치가 어떻게 나타나는지 알 필요가 없다는 것이죠..ㅎㅅㅎ

 

사실 우리에게 필요한 연립방정식은 아래와 같습니다.

연립방정식 잘 골라주시고, 

 

 

 

 

 

이제 머리만 잘 써주신다면, 각 가중치가 다음과 같이 나타난다는 것이 보이시죠?

그러면, 1 = 36(V), I1 = 9m(A) 대입을 해주시면

Vx = 10(V) 가 답이 될 겁니다.

 

 

 

 

 

Q2. 테브냉 혹은 노턴 등가를 활용하여, 등가회로를 구하시오. (Polarity 에 주의!)

문제 2 회로도

문제는 다음과 같습니다. 우측의 터미널 기준 좌측의 회로를 단순화하는 Equivalent Circuit 을 구하라는 문제입니다.

풀어보시고, 제 풀이를 확인하시면 부족했던 부분과 다른 관점의 풀이를 더 효과적으로 경험하실 수 있을 거에요.

 

저는 참고로 테브냉 등가, 이렇게 풀면 아주 잘 풀리더라구요.

회로 이론(5) - Source Transformation (테브냉 등가 & 노턴 등가)

Step 1: 단순화하고자 하는 노드를 잘라서, Polarity Check -> Open Circuit 상태에서의 Vth(테브냉 전압) 구하기

Step 2: 잘랐던 노드를 그대로, Short 시킨 후 (+)에서 (-) 방향으로 흐르는 isc(short Circuit Current) 구하기

Step 3: Rth = (Vth / isc) 를 통해서 테브냉 전압 구한 후, 등가 회로 그려주기

1. 단순화하고자 하는 노드를 잘라서, Polarity Check -> Open Circuit 상태에서의 Vth(테브냉 전압) 구하기

문제 2 회로도

 

다음과 같이 Open 을 시키고, 편의를 위해 Vref 를 아래의 Essential Node 로 잡아주게 되면, + polartity쪽의 전압을 Vth라고 놓을 수 있습니다.

 

그리고 Essential Node 기준 KCL 을 활용해주면, 상단 그림에 적혀 있는 수식을 구할 수 있게 되고,

단번에 Vth = 2(V)라는 결과를 얻을 수 있습니다.

 

2. 잘랐던 노드를 그대로, Short 시킨 후 (+)에서 (-) 방향으로 흐르는 isc(short Circuit Current) 구하기

다음은, 아까 전에 끊어두었던 두 노드를 이어줍니다.

우리는 이 과정을 Short 시킨다고 표현하며, 이렇게 되면, 아까 설정해준 Vref 와 (+) polarity 쪽의 전압이 미지의 전압 V로 같게 되겠죠?

 

참고로, 이 때 미지의 전압 V 를 Vth로 생각하시면

절대! 안됩니다.

 

 

 

제가, 지난 시간에 말씀드렸듯, 저항의 양단 전압 차가 없으면 (short / Open) 처리한다. 무엇이 맞을까요? 정답은 OPEN 입니다.

그러면, 왼쪽에 달린, 1k옴 짜리 저항은 무실화가 되면서, 그냥 회로도에서 없는 것과 별반 다르지 않습니다.

그리고, 자연스럽게 제일 상단의 Node 기준 KCL 을 써주신다면, 들어오는 전류가 총 2mA 이기에, 나가는 전류인

 

isc (short circuit Current) = 2mA 임을 구할 수 있습니다.

 

Step 3: Rth = (Vth / isc) 를 통해서 테브냉 전압 구한 후, 등가 회로 그려주기

위에서 구한 결과를 정리해보았습니다.

 

isc = 2mA

Vth = 2V 

 

따라서, Rth = 1k옴 임을 구할 수 있고, 아래와 같은 등가회로가 나옵니다.

 

테브냉 등가회로

 

다음에는 더 어려운 문제들에 대한 풀이가 진행될텐데요, 만약 지금 이 풀이가 익숙하시기 않으시다면 복습하시고 오시면 좋을 것 같습니다.

 

감사합니다.

넌준 드림